Sequências, PA e PG

O que é uma sequência

Uma sequência é uma função cujo domínio é formado por números inteiros que indicam posições. Seus termos são representados por

$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots$

O índice não é o valor do termo. Em $a_5=17$, o número 5 indica a posição e 17 é o valor nessa posição.

Uma sequência pode ser:

• finita, como as 12 parcelas de um plano anual;
• infinita, como $1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$;
• definida a partir de $n=1$, $n=0$ ou outro índice declarado.

Conhecer os primeiros termos nem sempre determina uma única continuação. A lista $1,2,4,\ldots$ pode seguir como 8 por duplicação ou como 7 por outro padrão. Uma regra precisa acompanhar a sequência.

Fórmula explícita e fórmula recursiva

A fórmula explícita calcula $a_n$ diretamente pela posição $n$. Por exemplo,

$a_n=3n+2.$

Assim,

$a_{20}=3\cdot20+2=62.$

A fórmula recursiva informa um termo inicial e como obter o próximo:

$a_1=5,\qquad a_n=a_{n-1}+3\quad(n\ge2).$

Para chegar a $a_{20}$, ela depende dos termos anteriores.

As duas formas podem descrever a mesma sequência. A explícita favorece posições distantes; a recursiva evidencia o processo de construção.

Progressão aritmética

Uma progressão aritmética, ou PA, possui diferença constante $r$ entre termos consecutivos:

$a_n-a_{n-1}=r.$

Na PA

$7,11,15,19,\ldots,$

a razão é $r=4$. No Brasil, é comum chamar essa diferença de “razão da PA”, embora matematicamente se trate de uma diferença.

Uma PA é:

• crescente se $r>0$;
• decrescente se $r<0$;
• constante se $r=0$.

Termo geral da PA

Partindo de $a_1$, para alcançar $a_n$ são realizados $n-1$ passos de tamanho $r$:

$a_n=a_1+(n-1)r.$

Na PA $7,11,15,\ldots$, o 30º termo é

$a_{30}=7+(30-1)\cdot4=123.$

O fator é $n-1$, não $n$, pois o primeiro termo ainda não recebeu nenhum acréscimo.

Se conhecemos outro termo $a_p$, podemos usar

$a_n=a_p+(n-p)r.$

Exemplo: se $a_8=25$ e $r=-3$, então

$a_{20}=25+(20-8)(-3)=-11.$

PA e função afim

A fórmula

$a_n=a_1+(n-1)r=rn+(a_1-r)$

tem a forma de uma Função afim, mas o domínio é discreto. Seu gráfico é formado por pontos alinhados, e não pela reta contínua inteira.

O coeficiente angular corresponde à razão $r$: avançar uma posição altera o termo sempre pelo mesmo valor.

Quantidade de termos

Quantos termos há na PA $5,9,13,\ldots,101$?

Temos $a_1=5$, $r=4$ e $a_n=101$:

$101=5+(n-1)4,$

$96=4(n-1),$

$n=25.$

O resultado precisa ser inteiro positivo. Se a resolução produzir $n=25{,}5$, o valor declarado não ocupa uma posição dessa PA.

Soma dos termos de uma PA

Se

$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,$

escreva a soma também na ordem inversa. Cada par de extremos vale $a_1+a_n$, e existem $n$ pares nas duas linhas. Assim,

$2S_n=n(a_1+a_n),$

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2.$

Para somar $3+7+11+\cdots+39$, primeiro encontre $n$:

$39=3+(n-1)4\Rightarrow n=10.$

Então,

$S_{10}=\frac{10(3+39)}2=210.$

Não use o último número visível como $a_n$ sem confirmar que ele realmente pertence à progressão.

Progressão geométrica

Uma progressão geométrica, ou PG, possui razão constante $q$ entre termos consecutivos não nulos:

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q.$

Na PG

$3,6,12,24,\ldots,$

temos $q=2$.

Casos importantes:

• $q>1$, com $a_1>0$: crescimento;
• $0<q<1$, com $a_1>0$: decaimento;
• $q<0$: sinais alternados;
• $q=1$: sequência constante;
• $q=0$: após o primeiro termo, os demais são zero.

Falar apenas que “PG sempre cresce” ignora razões fracionárias, negativas e nulas.

Termo geral da PG

Cada passo multiplica por $q$. Depois de $n-1$ passos:

$a_n=a_1q^{n-1}.$

Na PG $5,15,45,\ldots$, temos $q=3$. Portanto,

$a_8=5\cdot3^7=10935.$

Se $a_4=54$ e $q=3$, podemos usar

$a_n=a_4q^{n-4}.$

Logo,

$a_7=54\cdot3^3=1458.$

PG e função exponencial

A expressão $a_n=a_1q^{n-1}$ é exponencial no índice $n$. Assim, uma PG é a versão discreta de uma Função exponencial.

O gráfico contém apenas os pontos das posições admitidas. A razão $q$ é o fator multiplicativo por passo, assim como a base é o fator por unidade na função exponencial.

Soma finita dos termos de uma PG

Considere

$S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}.$

Multiplicando por $q$ e subtraindo as duas expressões, os termos intermediários se cancelam:

$S_n-qS_n=a_1-a_1q^n.$

Para $q\ne1$:

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}.$

Forma equivalente:

$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}.$

Na PG $2,6,18,54,162$, temos $a_1=2$, $q=3$ e $n=5$:

$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=242.$

Se $q=1$, a fórmula teria divisão por zero; nesse caso, todos os termos valem $a_1$ e $S_n=na_1$.

Soma de uma PG infinita

Uma soma infinita só converge quando os termos acrescentados se tornam pequenos o bastante. Para uma PG,

$|q|<1$

garante $q^n\to0$. A soma é

$S_\infty=\frac{a_1}{1-q}.$

Exemplo:

$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$

possui $a_1=1$ e $q=1/2$:

$S_\infty=\frac{1}{1-1/2}=2.$

Os termos nunca “terminam”, mas as somas parciais se aproximam de 2. Se $|q|\ge1$, essa fórmula não se aplica: a série não converge para uma soma real finita.

Inserção de meios

Inserir meios aritméticos entre $a$ e $b$ significa formar uma PA incluindo os extremos. Para inserir três meios entre 4 e 20, teremos cinco termos:

$20=4+(5-1)r\Rightarrow r=4.$

A sequência é $4,8,12,16,20$.

Inserir meios geométricos significa formar uma PG. Para inserir dois meios positivos entre 2 e 54, teremos quatro termos:

$54=2q^3\Rightarrow q^3=27\Rightarrow q=3.$

A sequência é $2,6,18,54$.

Conte corretamente os intervalos: com $k$ meios inseridos, existem $k+2$ termos e $k+1$ passos.

Problema aplicado

Um teatro possui 18 cadeiras na primeira fileira e acrescenta 4 cadeiras a cada nova fileira. Com 15 fileiras:

$a_{15}=18+14\cdot4=74.$

O total de cadeiras é

$S_{15}=\frac{15(18+74)}2=690.$

O termo $a_{15}$ responde quantas cadeiras há na última fileira; $S_{15}$ responde quantas há no teatro. Distinguir termo de soma é parte essencial da modelagem.

Erros frequentes

• Confundir posição $n$ com valor $a_n$.
• Supor uma regra apenas pelos primeiros termos sem que o padrão seja declarado.
• Usar $nr$ ou $q^n$ onde deveriam aparecer $(n-1)r$ e $q^{n-1}$.
• Testar diferenças com intervalos irregulares de posição.
• Dividir por zero ao procurar razão de PG.
• Afirmar que toda PG é crescente.
• Confundir termo $a_n$ com soma $S_n$.
• Aplicar a fórmula da soma geométrica com $q=1$.
• Usar a soma infinita sem verificar $|q|<1$.
• Tratar o gráfico discreto de uma sequência como curva contínua.
• Errar a quantidade de passos ao inserir meios.

Síntese

• Sequência é uma função de domínio discreto e termos ordenados.
• Fórmula explícita calcula uma posição diretamente; a recursiva usa termos anteriores.
• PA possui diferença constante e termo $a_n=a_1+(n-1)r$.
• A soma da PA é $S_n=n(a_1+a_n)/2$.
• PG possui razão constante e termo $a_n=a_1q^{n-1}$.
• Para $q\ne1$, a soma finita da PG é $S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)$.
• Uma PG infinita tem soma finita somente quando $|q|<1$.
• PA se relaciona à função afim; PG, à função exponencial.
• Termo, quantidade de termos e soma respondem perguntas diferentes.

Próximos passos

Com a unidade de Álgebra concluída, a trilha segue para Acréscimos e descontos sucessivos, primeiro tópico de Matemática Financeira. PA e PG também serão reutilizadas para comparar juros simples e compostos.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — MEC
• Algebra and Trigonometry 2e: Sequences and Their Notations — OpenStax
• Algebra and Trigonometry 2e: Series and Their Notations — OpenStax
• Intermediate Algebra 2e: Geometric Sequences and Series — OpenStax