Juros compostos: fórmula, cálculo e exemplos

Estruturas crescem em parcelas cada vez maiores acompanhando uma curva ascendente

Nos juros compostos, o resultado de um período se torna a base de cálculo do período seguinte. Os juros incorporados ao capital passam também a render ou gerar novos juros — o processo conhecido como capitalização composta.

Ideia central: cada período multiplica o montante anterior pelo mesmo fator. Por isso, o crescimento é exponencial, e não linear.

Como funciona a capitalização

Considere um capital de R$ 1.000 à taxa de 10% por período. No primeiro período:

$M_1=1.000\cdot1{,}10=1.100.$

No segundo, a taxa incide sobre R$ 1.100, não sobre os R$ 1.000 iniciais:

$M_2=1.100\cdot1{,}10=1.210.$

No terceiro:

$M_3=1.210\cdot1{,}10=1.331.$

Período	Base do período	Juros do período	Montante
0	—	—	R$ 1.000
1	R$ 1.000	R$ 100	R$ 1.100
2	R$ 1.100	R$ 110	R$ 1.210
3	R$ 1.210	R$ 121	R$ 1.331

Os juros de cada período aumentam: R$ 100, R$ 110 e R$ 121. Isso ocorre porque a base também aumenta.

Do fator à fórmula

Uma taxa decimal $i$ corresponde ao fator de crescimento $1+i$ . Se o capital inicial é $C$ :

$M_1=C(1+i).$

Após dois períodos:

$M_2=C(1+i)(1+i)=C(1+i)^2.$

Depois de $t$ períodos:

$\boxed{M=C(1+i)^t}.$

Cada período multiplica o montante anterior pelo fator um mais a taxa

As grandezas são:

Símbolo	Significado
$C$	capital ou valor inicial
$M$	montante ou valor final
$i$	taxa por período, em forma decimal
$t$	número de períodos de capitalização
$J$	juros acumulados, dados por $M-C$

A lógica dos fatores foi introduzida em Acréscimos e descontos sucessivos.

Exemplo direto

Um capital de R$ 4.000 é aplicado a 2% ao mês durante 6 meses.

Converta a taxa:

$i=2\%=0{,}02.$

Aplique a fórmula:

$M=4.000(1+0{,}02)^6.$

$M=4.000(1{,}02)^6\approx4.504{,}65.$

Os juros são a diferença entre montante e capital:

$J=4.504{,}65-4.000=504{,}65.$

Portanto, o montante é aproximadamente R$ 4.504,65 e os juros, R$ 504,65.

Taxa e tempo precisam corresponder

A taxa e o expoente devem usar o mesmo período. Taxa de 2% ao mês combina com tempo em meses; taxa de 8% ao ano combina com tempo em anos.

Não multiplique uma taxa composta mensal por 12 para obter automaticamente uma taxa anual equivalente. A conversão composta usa fatores e é desenvolvida em Taxas equivalentes.

Se o enunciado já fornece a taxa efetiva por período e o número de períodos, use diretamente

$M=C(1+i)^t.$

Quando apresenta uma taxa nominal anual e uma frequência de capitalização, o próprio problema deve indicar como obter a taxa periódica. Não confunda frequência de pagamento com frequência de capitalização.

Juros simples e compostos

Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. Nos compostos, incide sobre o montante anterior.

Gráfico compara crescimento linear dos juros simples com crescimento curvo dos juros compostos

Para R$ 1.000 a 10% por período:

Período	Juros simples	Juros compostos
0	R$ 1.000	R$ 1.000
1	R$ 1.100	R$ 1.100
2	R$ 1.200	R$ 1.210
3	R$ 1.300	R$ 1.331
4	R$ 1.400	R$ 1.464,10

No primeiro período os montantes coincidem. A partir do segundo, a capitalização sobre valores acumulados cria a diferença. Para revisar o modelo linear, consulte Juros simples.

Relação com progressão geométrica

A sequência dos montantes

$C,\ C(1+i),\ C(1+i)^2,\ C(1+i)^3,\ldots$

é uma progressão geométrica de razão

$q=1+i.$

Cada termo é obtido multiplicando o anterior pelo mesmo fator. Essa relação permite interpretar juros compostos como uma PG aplicada ao tempo. Veja Sequências, PA e PG.

Relação com função exponencial

Mantidos capital e taxa, o montante em função do tempo é

$M(t)=C(1+i)^t.$

Para taxas positivas, $1+i>1$ , então o gráfico é crescente e curvo. Acréscimos iguais no tempo produzem multiplicações iguais no montante, e não adições iguais.

A página Função exponencial e logaritmos desenvolve as propriedades da função e as operações usadas para encontrar o tempo.

Encontrando o capital

Se o montante, a taxa e o prazo são conhecidos:

$C=\frac{M}{(1+i)^t}.$

Qual capital produz R$ 12.100 após 2 anos a 10% ao ano?

$C=\frac{12.100}{(1{,}10)^2}=10.000.$

O cálculo divide o valor final pelo fator acumulado. Ele não consiste em subtrair 20%, pois duas taxas de 10% compõem fator $1{,}21$ .

Encontrando a taxa

Partindo de

$M=C(1+i)^t,$

divida por $C$ e extraia a raiz de índice $t$ :

$i=\sqrt[t]{\frac{M}{C}}-1.$

Um capital de R$ 5.000 torna-se R$ 6.655 em 3 períodos:

$i=\sqrt[3]{\frac{6.655}{5.000}}-1.$

$i=\sqrt[3]{1{,}331}-1=1{,}10-1=0{,}10.$

A taxa é 10% por período.

Encontrando o tempo

Quando o tempo está no expoente, usamos logaritmos:

$\frac{M}{C}=(1+i)^t,$

$t=\frac{\log(M/C)}{\log(1+i)}.$

Em quanto tempo R$ 2.000 se transformam em R$ 2.662 à taxa de 10% por período?

$t=\frac{\log(2.662/2.000)}{\log(1{,}10)}=\frac{\log(1{,}331)}{\log(1{,}10)}=3.$

Logo, são necessários 3 períodos.

Montante e capital conduzem ao fator; raiz encontra a taxa e logaritmo encontra o tempo

Dobrar o capital

Para descobrir quando um capital dobra, faça $M=2C$ :

$2C=C(1+i)^t.$

Cancelando $C$ :

$t=\frac{\log 2}{\log(1+i)}.$

Observe que o tempo de duplicação, nesse modelo, depende da taxa, não do valor inicial. A chamada “regra de 72” pode fornecer uma estimativa em alguns intervalos de taxa, mas não substitui o cálculo exato quando a prova exige precisão.

Crescimento e redução compostos

A mesma estrutura modela depreciações ou reduções sucessivas. Para uma queda de taxa $d$ por período:

$V_t=V_0(1-d)^t.$

Um equipamento de R$ 20.000 perde 15% do valor a cada ano. Após 3 anos:

$V_3=20.000(0{,}85)^3=12.282{,}50.$

O valor perdido não é simplesmente $3\cdot15\%=45\%$ do inicial. Cada redução incide sobre o valor remanescente.

Arredondamento

Use o fator com todas as casas disponíveis e arredonde o resultado monetário somente no final, salvo orientação diferente do enunciado ou regra contratual.

Arredondar o montante a cada período pode acumular diferenças. Em tabelas didáticas, valores intermediários arredondados ajudam a leitura, mas o cálculo final deve preferir a expressão direta com maior precisão.

Situações reais exigem mais informações

O modelo $M=C(1+i)^t$ descreve um único capital submetido a taxa constante e sem novos fluxos. Depósitos periódicos, prestações, amortizações, tarifas, tributos e taxas variáveis exigem modelos adicionais.

O Banco Central destaca que os juros compostos atuam tanto no crescimento de aplicações quanto de dívidas. Portanto, uma comparação real deve considerar prazos, fluxos e o custo total informado — não apenas a taxa isolada.

Erros frequentes

Usar a taxa percentual sem convertê-la para decimal.
Calcular $M=C(1+i\cdot t)$ em um problema composto.
Somar a mesma parcela de juros em todos os períodos.
Aplicar o expoente apenas à taxa: $1+i^t$ .
Misturar taxa mensal e tempo anual.
Multiplicar uma taxa composta pelo número de períodos como se fosse simples.
Apresentar o montante quando a pergunta solicita apenas os juros.
Subtrair a soma das taxas para recuperar o capital original.
Arredondar fatores intermediários cedo demais.
Usar a fórmula de um capital único em problemas com aportes ou parcelas.

Roteiro de resolução

Identifique capital, montante, taxa e número de períodos.
Confirme que o regime é composto.
Converta a taxa percentual para decimal.
Compatibilize o período da taxa com o tempo.
Use $M=C(1+i)^t$ .
Se necessário, isole capital, taxa ou tempo.
Calcule os juros por $J=M-C$ quando forem solicitados.
Arredonde no momento indicado e confira a ordem de grandeza.

Síntese

Nos juros compostos, cada montante vira a base do período seguinte.
A taxa periódica $i$ corresponde ao fator $1+i$ .
O montante é $M=C(1+i)^t$ e os juros são $J=M-C$ .
O crescimento é exponencial e os montantes formam uma PG.
Taxa e tempo precisam usar períodos compatíveis.
O capital é obtido dividindo pelo fator acumulado.
A taxa exige uma raiz; o tempo, logaritmos.
Reduções sucessivas usam o fator $1-d$ elevado ao número de períodos.
Fluxos periódicos e contratos reais podem exigir modelos mais completos.

Próximos passos

Continue em Taxas equivalentes, conteúdo dedicado à conversão correta entre períodos. Depois, Valor presente e valor futuro aprofunda a equivalência de capitais no tempo.