Produtos notáveis e fatoração

Da distributiva ao produto de binômios

Para multiplicar $(a+b)(c+d)$, cada termo do primeiro binômio multiplica cada termo do segundo:

$ac+ad+bc+bd.$

Em $(x+3)(x+5)$:

$x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15.$

O método conhecido como FOIL é apenas um lembrete para esse caso; a justificativa geral é a distributiva, já introduzida em Expressões algébricas.

Quadrado da soma

Elevar um binômio ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b).$

Distribuindo:

$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$

Portanto:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

O modelo de área explica o coeficiente 2: o quadrado de lado $a+b$ contém dois retângulos distintos de área $ab$.

Exemplo

$(2x+3)^2=(2x)^2+2(2x)(3)+3^2=4x^2+12x+9.$

O erro $(a+b)^2=a^2+b^2$ ignora os dois produtos cruzados.

Quadrado da diferença

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2.$

O último termo continua positivo porque $(-b)(-b)=b^2$. Apenas o termo central muda de sinal.

Exemplo

$(3y-4)^2=9y^2-24y+16.$

Uma verificação rápida é observar que o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos e o termo central é duas vezes o produto de suas bases, com o sinal correspondente.

Produto da soma pela diferença

Binômios $(a+b)$ e $(a-b)$ são conjugados:

$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2.$

Os termos cruzados se cancelam. Essa identidade permite cálculos mentais:

$103\cdot97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991.$

O que significa fatorar

Fatorar é escrever uma expressão como produto. Pela distributiva:

$3x(x+4)=3x^2+12x.$

No sentido inverso:

$3x^2+12x=3x(x+4).$

A forma expandida facilita somas e comparações de coeficientes; a forma fatorada evidencia zeros, divisibilidade e estrutura.

Fator comum em evidência

Procure primeiro o maior fator comum numérico e literal.

Em $12x^3y-18x^2y^2$, o MDC dos coeficientes é 6; a menor potência comum de $x$ é $x^2$ e de $y$ é $y$:

$12x^3y-18x^2y^2=6x^2y(2x-3y).$

Confira distribuindo $6x^2y$. Retirar apenas 2 seria correto, mas deixaria a fatoração incompleta.

Fatoração por agrupamento

Quando não há um único fator comum a todos os termos, grupos podem revelar um fator binomial:

$ax+ay+bx+by$

$=a(x+y)+b(x+y)$

$=(a+b)(x+y).$

O agrupamento funciona porque os grupos produzem exatamente o mesmo fator. Alterar a ordem dos termos pode tornar o padrão mais visível.

Trinômio quadrado perfeito

As identidades dos quadrados podem ser lidas ao contrário:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$

Para reconhecer um trinômio quadrado perfeito:

1. verifique se o primeiro e o último termos são quadrados;
2. encontre suas bases;
3. confirme se o termo central é $\pm2ab$.

Exemplo:

$9x^2-24x+16=(3x)^2-2(3x)(4)+4^2=(3x-4)^2.$

Ter extremos quadrados não basta: $x^2+5x+4$ não é quadrado perfeito, pois $2\cdot x\cdot2=4x$, não $5x$.

Diferença de quadrados

Lendo o produto de conjugados ao contrário:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

Assim:

$25x^2-49=(5x-7)(5x+7).$

Uma soma de quadrados, como $a^2+b^2$, não possui essa fatoração nos números reais.

Fatoração em etapas

Sempre retire o fator comum antes:

$12x^3-48x=12x(x^2-4)=12x(x-2)(x+2).$

Parar em $12x(x^2-4)$ deixa uma diferença de quadrados ainda fatorável.

Soma e diferença de cubos

Como extensão útil:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$

Exemplo:

$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4).$

Um lembrete seguro: o primeiro fator conserva o sinal; no trinômio, o termo central usa o sinal oposto e o último é sempre positivo. A multiplicação continua sendo a melhor verificação.

Estratégia de escolha

1. Ordene e reduza termos semelhantes.
2. Procure fator comum em todos os termos.
3. Conte os termos restantes.
4. Em dois termos, verifique diferença de quadrados ou cubos.
5. Em três, teste trinômio quadrado perfeito.
6. Em quatro ou mais, tente agrupamento.
7. Repita até que nenhum fator seja decomponível no conjunto numérico adotado.
8. Multiplique os fatores para conferir.

Aplicações

Cálculo eficiente

$49^2=(50-1)^2=2500-100+1=2401.$

Simplificação estrutural

Para $x\ne3$:

$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$

A restrição $x\ne3$ permanece, mesmo após o cancelamento.

Preparação para equações

Se uma expressão fatorada é igual a zero, a propriedade do produto nulo permitirá analisar cada fator. Essa aplicação será aprofundada em equações do segundo grau.

Erros frequentes

• Esquecer o termo $2ab$ no quadrado do binômio.
• Tornar negativo o último termo de $(a-b)^2$.
• Aplicar diferença de quadrados a uma soma.
• Fatorar sem retirar antes o maior fator comum.
• Cancelar termos em uma soma como se fossem fatores.
• Parar antes de fatorar completamente.
• Usar uma identidade sem verificar o termo central.
• Não conferir a resposta pela multiplicação.

Síntese

• Produtos notáveis são consequências da distributiva.
• $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$.
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
• Fatorar é transformar soma ou diferença em produto.
• Fator comum vem antes dos padrões especiais.
• Toda fatoração deve ser conferida por expansão.

Próximos passos

A trilha segue para Equação do primeiro grau. Mais adiante, equações quadráticas reutilizarão fatoração e produto nulo para encontrar soluções.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — MEC
• Elementary Algebra 2e: Multiply Polynomials — OpenStax
• Intermediate Algebra 2e: Factor Special Products — OpenStax
• Elementary Algebra 2e: General Strategy for Factoring — OpenStax