Frações

Como ler uma fração

Na fração $\frac{a}{b}$, com $b\ne0$, $a$ é o numerador e $b$, o denominador. Em $\frac34$, o inteiro de referência foi dividido em quatro partes iguais e três dessas partes foram consideradas.

As partes precisam ser equivalentes em tamanho, não apenas em quantidade. Dividir uma figura em quatro regiões desiguais não produz quartos.

• fração própria: numerador menor que denominador, como $\frac35$;
• fração imprópria: numerador maior ou igual ao denominador, como $\frac74$;
• fração aparente: equivale a um inteiro, como $\frac{12}{4}=3$.

Os cinco significados de fração

Parte-todo

Em uma faixa dividida em oito partes iguais, cinco selecionadas representam $\frac58$ da faixa. O todo de referência precisa estar claro: três quartos de uma turma e três quartos de uma hora são relações iguais aplicadas a unidades diferentes.

Quociente

$\frac34$ também significa $3\div4$. Se três litros são compartilhados igualmente entre quatro recipientes, cada um recebe $\frac34$ de litro.

Razão

Em um grupo com duas peças azuis para cada três verdes, a razão entre azuis e verdes é $\frac23$. Aqui, a fração compara duas quantidades; o denominador não descreve necessariamente o total.

Operador

Calcular $\frac35$ de 40 significa aplicar a transformação $\frac35\cdot40=24$. Uma estratégia é dividir 40 em cinco partes e tomar três: $40\div5\cdot3$.

Medida

Na reta numérica, $\frac74$ indica uma posição: sete passos de tamanho $\frac14$ a partir de zero. Frações são números, não apenas pedaços de objetos.

Frações equivalentes

Frações equivalentes têm o mesmo valor e ocupam o mesmo ponto na reta.

Multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número não nulo preserva o quociente:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\qquad k\ne0.$

Logo:

$\frac12=\frac24=\frac36.$

O processo inverso é a simplificação. Divida numerador e denominador por um fator comum. Para obter diretamente a forma irredutível, use o MDC:

$\frac{42}{56}=\frac{42\div14}{56\div14}=\frac34.$

O tópico Divisibilidade, números primos, MMC e MDC apresenta as ferramentas usadas aqui.

“Cortar zeros” não é uma regra geral. $\frac{20}{30}=\frac23$ porque ambos foram divididos por 10; em $\frac{20}{305}$, apagar zeros alteraria o valor.

Comparação e ordenação

Denominadores iguais

Compare os numeradores: $\frac58>\frac38$, pois são consideradas mais partes da mesma unidade fracionária.

Numeradores iguais

Para frações positivas com mesmo numerador, o menor denominador produz partes maiores: $\frac35>\frac37$.

Denominadores diferentes

Converta para denominadores comuns ou use produtos cruzados. Para denominadores positivos:

$\frac ab<\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad<bc.$

Exemplo: compare $\frac57$ e $\frac34$. Como $5\cdot4=20$ e $3\cdot7=21$, temos $\frac57<\frac34$.

Referências como 0, $\frac12$ e 1 ajudam. $\frac{11}{20}$ é maior que $\frac12$, pois $\frac12=\frac{10}{20}$.

Frações impróprias e números mistos

$\frac{11}{4}$ representa dois inteiros e três quartos:

$\frac{11}{4}=2\frac34.$

Divida 11 por 4: quociente 2, resto 3. No caminho inverso:

$2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4}.$

Número misto não significa multiplicação. Para efetuar operações, a fração imprópria costuma ser mais segura.

Adição e subtração

Só é possível somar diretamente partes da mesma unidade fracionária.

Denominadores iguais

$\frac ac+\frac bc=\frac{a+b}{c}.$

Por exemplo, $\frac27+\frac37=\frac57$. O denominador permanece 7 porque continuamos contando sétimos.

Denominadores diferentes

Encontre um denominador comum, preferencialmente o MMC:

$$\frac34+\frac56 =\frac9{12}+\frac{10}{12} =\frac{19}{12} =1\frac7{12}.$$

Somar denominadores produziria partes com unidade incoerente. $\frac12+\frac13$ não é $\frac25$.

Na subtração, o procedimento é o mesmo:

$\frac78-\frac16=\frac{21}{24}-\frac4{24}=\frac{17}{24}.$

Multiplicação

Multiplicar frações pode significar tomar uma fração de outra quantidade:

$\frac23\cdot\frac45=\frac{8}{15}.$

“Dois terços de quatro quintos” corresponde a $\frac{8}{15}$ do todo. Multiplique numeradores e denominadores e simplifique. É possível cancelar fatores antes:

$\frac{14}{15}\cdot\frac{25}{21}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{3}=\frac{10}{9}.$

O cancelamento ocorre entre fatores, nunca entre termos ligados por adição. Não se pode cancelar o 2 de $\frac{2+5}{2}$.

Divisão

Dividir por uma fração responde quantas vezes uma medida cabe em outra. Quantos pedaços de $\frac38$ cabem em $\frac34$?

$\frac34\div\frac38=\frac34\cdot\frac83=2.$

Dividir por $\frac cd$, com $c\ne0$, equivale a multiplicar por seu recíproco $\frac dc$:

$\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc.$

Não basta “inverter alguma fração”: mantenha a primeira e multiplique pelo recíproco da segunda. Fração zero não possui recíproco, portanto não pode ser divisora.

Mapa das quatro operações

• adição/subtração: transforme as parcelas para a mesma unidade fracionária;
• multiplicação: interprete como parte de uma quantidade e multiplique fatores;
• divisão: interprete quantas vezes o divisor cabe no dividendo e use o recíproco;
• ao final: simplifique e interprete sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exemplo integrado

Um reservatório estava com $\frac25$ da capacidade. Recebeu mais $\frac14$ da capacidade total e depois foi retirado $\frac13$ do volume que havia nele.

Após a entrada:

$\frac25+\frac14=\frac8{20}+\frac5{20}=\frac{13}{20}.$

Retirar um terço do volume significa conservar dois terços dele:

$\frac23\cdot\frac{13}{20}=\frac{13}{30}.$

Restaram $\frac{13}{30}$ da capacidade. O cuidado central é distinguir “retirar $\frac13$ da capacidade” de “retirar $\frac13$ do volume presente”.

Erros frequentes

Ignorar o todo de referência

$\frac12$ de uma quantidade não é necessariamente igual a $\frac12$ de outra.

Somar denominadores

Denominador identifica o tipo de parte; antes de somar, torne as unidades iguais.

Comparar somente numeradores ou denominadores

Com denominadores diferentes, considere a relação completa.

Cancelar parcelas

Cancelamento é divisão de fatores comuns. Somas e diferenças devem permanecer agrupadas.

Inverter a fração errada

Na divisão, multiplique o dividendo pelo recíproco do divisor.

Acreditar que multiplicar sempre aumenta

Multiplicar um positivo por uma fração entre 0 e 1 o reduz. Dividir por essa fração pode aumentá-lo.

Como aparece em provas

Frações surgem em partilhas, receitas, escalas, probabilidades, taxas, áreas, tempo e porcentagens. As questões avaliam se você reconhece representações equivalentes, localiza valores na reta, interpreta “de” como operador e distingue o total inicial do total remanescente.

Antes da conta, registre:

1. qual é o todo de referência;
2. o que numerador e denominador representam;
3. se a questão pede juntar, comparar, tomar uma parte ou medir quantas vezes cabe;
4. em qual unidade a resposta deve ser dada.

Síntese para revisão

• $\frac ab$ representa $a\div b$, com $b\ne0$;
• frações podem atuar como parte-todo, quociente, razão, operador ou medida;
• equivalência multiplica ou divide numerador e denominador pelo mesmo valor não nulo;
• comparação pode usar referências, denominadores comuns ou produtos cruzados;
• adição e subtração exigem denominador comum;
• multiplicação combina numeradores e denominadores;
• divisão usa o recíproco do divisor;
• simplificação preserva o valor e deve atuar sobre fatores;
• contexto e todo de referência fazem parte da resposta.

Próximos passos

Números decimais conectará frações a representações decimais; Razão e proporção aprofundará comparações; Porcentagem trabalhará frações de denominador 100 e taxas. Os links serão ativados após a publicação dessas páginas.

Referências

• Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular.
• INEP. Matriz de Referência de Matemática do Saeb alinhada à BNCC.
• OpenStax. Prealgebra 2e — Visualize Fractions. Licença CC BY 4.0.
• OpenStax. Prealgebra 2e — Chapter 4 Key Concepts. Licença CC BY 4.0.