Ângulos

Elementos e notação

Duas semirretas com origem comum formam um ângulo. A origem é o vértice e as semirretas são seus lados. Em $\angle ABC$, a letra central $B$ identifica o vértice. O mesmo ângulo pode ser escrito $\angle CBA$.

Quando existe apenas um ângulo no vértice, $\angle B$ pode bastar. Se várias semirretas partem de $B$, use três letras para evitar ambiguidade. A medida é indicada por $m(\angle ABC)$.

Revise Fundamentos da geometria plana para reta e semirreta.

Graus e volta completa

Uma volta completa mede $360^\circ$; meia-volta, $180^\circ$; um quarto de volta, $90^\circ$. O grau divide a volta em 360 partes iguais.

O tamanho do desenho não altera a medida. Alongar os lados preservando suas direções mantém o ângulo.

Classificação pela medida

Tipo	Medida $\alpha$
Nulo	$\alpha=0^\circ$
Agudo	$0^\circ<\alpha<90^\circ$
Reto	$\alpha=90^\circ$
Obtuso	$90^\circ<\alpha<180^\circ$
Raso	$\alpha=180^\circ$
Côncavo	$180^\circ<\alpha<360^\circ$
Completo	$\alpha=360^\circ$

Não classifique apenas pela aparência: use a medida ou uma marcação explícita.

Como usar o transferidor

1. alinhe o centro do transferidor ao vértice;
2. faça a linha de zero coincidir com um lado;
3. escolha a escala que começa em zero nesse lado;
4. leia onde o outro lado cruza a graduação.

Os erros mais comuns são deslocar o centro e ler a escala invertida. Antes de aceitar $130^\circ$, por exemplo, confira se a abertura é obtusa; se ela parece aguda, provavelmente a leitura correta é $50^\circ$.

Ângulos consecutivos e adjacentes

Ângulos consecutivos compartilham vértice e um lado. Eles são adjacentes quando, além disso, suas regiões internas não se sobrepõem.

Se $\angle AOB$ e $\angle BOC$ são adjacentes, com $B$ no interior de $\angle AOC$:

$m(\angle AOC)=m(\angle AOB)+m(\angle BOC).$

Exemplo

Se $m(\angle AOC)=85^\circ$ e $m(\angle AOB)=32^\circ$, então

$m(\angle BOC)=85^\circ-32^\circ=53^\circ.$

Complementares, suplementares e replementares

• complementares somam $90^\circ$;
• suplementares somam $180^\circ$;
• replementares somam $360^\circ$.

Essas relações dependem da soma, não da posição no desenho. Dois ângulos podem ser complementares sem serem adjacentes.

Exemplos

O complemento de $37^\circ$ é

$90^\circ-37^\circ=53^\circ.$

O suplemento de $124^\circ$ é

$180^\circ-124^\circ=56^\circ.$

Se dois ângulos suplementares medem $3x+10$ e $2x-5$ graus:

$3x+10+2x-5=180,$

$5x=175\Rightarrow x=35.$

As medidas são $115^\circ$ e $65^\circ$. Confira: a soma é $180^\circ$.

Ângulos opostos pelo vértice

Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos. Os pares não adjacentes são opostos pelo vértice (OPV) e possuem medidas iguais. Ângulos adjacentes nessa interseção são suplementares.

Se um ângulo mede $68^\circ$, seu oposto mede $68^\circ$ e cada adjacente mede

$180^\circ-68^\circ=112^\circ.$

Se ângulos OPV medem $5x+8$ e $6x-7$ graus:

$5x+8=6x-7\Rightarrow x=15.$

Logo, ambos medem $83^\circ$.

Perpendiculares e bissetriz

Retas perpendiculares formam quatro ângulos retos. O símbolo usual é $r\perp s$.

A bissetriz divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Se $\overrightarrow{OB}$ é bissetriz de um ângulo de $74^\circ$:

$m(\angle AOB)=m(\angle BOC)=37^\circ.$

Não confunda bissetriz com ponto médio: a primeira divide uma abertura; o segundo divide um segmento.

Paralelas cortadas por uma transversal

Uma transversal cruza duas ou mais retas. Quando corta duas retas paralelas:

• correspondentes são congruentes;
• alternos internos são congruentes;
• alternos externos são congruentes;
• colaterais internos são suplementares;
• colaterais externos são suplementares.

Essas conclusões exigem paralelismo. Sem a informação $r\parallel s$, não transfira medidas automaticamente entre as interseções.

Exemplo

Se um ângulo correspondente mede $118^\circ$, seu correspondente mede $118^\circ$. O adjacente mede

$180^\circ-118^\circ=62^\circ.$

Por OPV e correspondência, os oito ângulos assumem apenas dois valores: quatro de $118^\circ$ e quatro de $62^\circ$.

Estratégia para figuras com muitas retas

1. marque primeiro os dados fornecidos;
2. use OPV na mesma interseção;
3. use suplementares sobre uma reta;
4. somente depois atravesse para outra interseção usando o paralelismo;
5. resolva expressões algébricas;
6. valide se as classificações combinam com os valores.

Minutos e segundos de arco

Em medidas mais precisas:

$1^\circ=60'\quad\text{e}\quad1'=60''.$

Assim, $2^\circ30'=2{,}5^\circ$. Para somar $35^\circ45'$ e $28^\circ30'$:

$35^\circ45'+28^\circ30'=63^\circ75'=64^\circ15'.$

Essa notação não representa tempo, embora use a mesma base sexagesimal.

Erros frequentes

• colocar o vértice fora da posição central no nome do ângulo;
• medir o comprimento dos lados em vez da abertura;
• trocar agudo por obtuso ao ler a escala do transferidor;
• supor que complementares precisam estar juntos;
• afirmar que ângulos adjacentes são sempre suplementares;
• igualar ângulos apenas porque parecem OPV;
• usar relações de transversal sem confirmar paralelismo;
• confundir bissetriz com mediana ou ponto médio;
• escrever $1^\circ=100'$ em vez de $60'$;
• aceitar uma medida negativa ou maior que a volta sem interpretar o contexto.

Síntese

• Um ângulo é formado por duas semirretas de mesma origem.
• A letra central na notação de três pontos é o vértice.
• A classificação depende da medida em relação a $90^\circ$, $180^\circ$ e $360^\circ$.
• Adição de ângulos vale para regiões adjacentes corretamente ordenadas.
• Complementares, suplementares e replementares somam $90^\circ$, $180^\circ$ e $360^\circ$.
• Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
• A bissetriz divide a abertura em duas partes iguais.
• Relações entre duas interseções dependem de retas paralelas cortadas por transversal.

Próximos passos

O próximo conteúdo é Triângulos, que aplicará medidas angulares à classificação, soma dos ângulos internos, congruência e relações métricas.

Referências

• Contemporary Mathematics: Angles — OpenStax
• Contemporary Mathematics: Key Concepts — OpenStax
• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação