Funções: domínio, imagem e conceitos fundamentais

Entradas geométricas atravessam uma transformação e cada uma segue para uma única saída

Uma função descreve como uma quantidade depende de outra. A temperatura prevista depende do horário; o custo de uma corrida depende da distância; a área de um quadrado depende da medida do lado.

Ideia central: uma relação é função quando cada entrada admitida determina exatamente uma saída.

Relação e função

Uma relação pode ser descrita por pares ordenados $(x,y)$ . O conjunto

$\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$

é função de $x$ em $y$ : cada primeiro elemento aparece associado a uma única saída.

Já

$\{(1,2),(1,5),(3,6)\}$

não define $y$ como função de $x$ , pois a entrada 1 possui duas saídas.

Diagramas com uma função válida e uma relação que não é função

Duas entradas compartilharem a mesma saída não viola a definição. Em $f(x)=x^2$ , por exemplo, $f(2)=4$ e $f(-2)=4$ .

Entrada e saída

A variável de entrada é chamada independente; a saída, dependente. Na fórmula

$A(l)=l^2,$

$l$ é o lado escolhido e $A(l)$ é a área determinada por esse valor. A dependência não significa causalidade em todos os contextos; significa uma regra de associação.

Domínio, contradomínio e imagem

Em uma função $f:A\to B$ :

domínio $A$ : conjunto das entradas permitidas;
contradomínio $B$ : conjunto declarado para as possíveis saídas;
imagem: valores de $B$ realmente produzidos por entradas de $A$ .

Diagrama diferencia domínio, contradomínio e elementos efetivamente atingidos da imagem

Considere $f:\{-2,-1,0,1,2\}\to\{0,1,2,3,4,5\}$ , com $f(x)=x^2$ . O domínio é $\{-2,-1,0,1,2\}$ , o contradomínio é $\{0,1,2,3,4,5\}$ e a imagem é $\{0,1,4\}$ . Os elementos 2, 3 e 5 pertencem ao contradomínio, mas não são atingidos.

Notação funcional

A escrita $f(x)$ lê-se “f de x” e representa a saída associada a $x$ . Não significa multiplicação de $f$ por $x$ .

Se $f(x)=3x-2$ :

$f(4)=3(4)-2=10.$

Para avaliar $f(-2)$ , use parênteses:

$f(-2)=3(-2)-2=-8.$

Já resolver $f(x)=10$ significa procurar a entrada que produz 10:

$3x-2=10\Rightarrow x=4.$

Avaliar uma função e resolver uma equação envolvendo a função são tarefas diferentes.

Uma função, várias representações

Fórmula, tabela, diagrama e gráfico conectados como representações da mesma função

Para $f(x)=2x+1$ , podemos construir:

$x$	$f(x)$
$-1$	$-1$
$0$	$1$
$1$	$3$
$2$	$5$

Cada linha forma um ponto $(x,f(x))$ no plano. A fórmula evidencia a regra; a tabela, valores específicos; o diagrama, associações; o gráfico, o comportamento global. Nenhuma representação é sempre superior: a escolha depende da pergunta.

Como reconhecer em uma tabela

Observe as entradas. Se a mesma entrada aparece com saídas diferentes, não é função. Repetir saídas é permitido.

Entrada	Saída
1	4
2	4
3	7

Essa tabela define uma função. Mas acrescentar a linha $(2,9)$ quebraria a unicidade da saída para a entrada 2.

Teste da reta vertical

Um gráfico representa $y$ como função de $x$ se toda reta vertical o intercepta no máximo uma vez. Uma interseção vertical dupla indicaria que o mesmo $x$ possui dois valores de $y$ .

Uma circunferência não é gráfico de $y$ como função de $x$ : para muitos valores de $x$ , há um ponto acima e outro abaixo. Uma parábola vertical passa no teste, mesmo que uma reta horizontal possa cortá-la duas vezes.

O teste vertical verifica se há função; o teste horizontal responde outra pergunta — se a função é injetiva — e não deve ser confundido com ele.

Determinando o domínio

Quando a regra não declara domínio, costuma-se considerar todos os números reais para os quais a expressão está definida.

Polinômio

$f(x)=x^2-3x+1$

aceita qualquer real: $D_f=\mathbb{R}$ .

Denominador

$g(x)=\frac{2}{x-4}$

não aceita $x=4$ , pois divisão por zero não existe:

$D_g=\mathbb{R}\setminus\{4\}.$

Raiz par

$h(x)=\sqrt{x+3}$

exige $x+3\ge0$ . Usando Inequações, obtemos $x\ge-3$ , então $D_h=[-3,+\infty)$ .

Domínio matemático e domínio contextual

Uma fórmula pode aceitar valores que o contexto rejeita. Se $C(n)=20+5n$ representa o custo de $n$ ingressos, a expressão aceita qualquer real, mas a situação exige $n$ inteiro e não negativo.

Se um reservatório é observado apenas entre 8h e 18h, o tempo fora desse intervalo não pertence ao domínio do modelo, ainda que a fórmula possa ser calculada. Declarar as unidades e restrições evita previsões sem sentido.

Encontrando a imagem

Em conjuntos finitos, calcule as saídas de todas as entradas. Em uma fórmula ou gráfico contínuo, investigue quais valores de saída podem ocorrer.

Para $f(x)=x^2$ com domínio real, toda saída é não negativa:

$\operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).$

Se restringirmos o domínio para $[-2,1]$ , a imagem continua sendo $[0,4]$ . Domínio e imagem dependem não apenas da expressão, mas também do conjunto em que a função foi definida.

Função em situações reais

Conversão de temperatura

$F(C)=\frac95C+32.$

Cada temperatura Celsius determina uma única Fahrenheit. A fórmula permite avaliar, por exemplo, $F(20)=68$ .

Área do quadrado

$A(l)=l^2,$

com domínio contextual $l>0$ . Embora $(-3)^2=9$ , comprimento negativo não é admissível.

Pessoa e data de nascimento

Data de nascimento é função da pessoa, pois cada pessoa possui uma única data. Pessoa não é função da data, pois várias pessoas podem nascer no mesmo dia. A direção da associação importa.

Função não é necessariamente uma fórmula simples

Uma função pode ser definida por tabela, algoritmo, regra por partes ou dados experimentais. Também pode ter entradas não numéricas, como produtos associados aos respectivos preços. O requisito essencial permanece: cada entrada do domínio deve possuir exatamente uma saída.

Erros frequentes

Achar que entradas diferentes não podem ter a mesma saída.
Confundir imagem com contradomínio.
Ler $f(x)$ como produto.
Substituir valor negativo sem parênteses.
Usar o teste da reta horizontal para decidir se é função.
Ignorar valores que anulam denominadores.
Aceitar radicando negativo em raiz par, trabalhando nos reais.
Inferir domínio apenas pela fórmula e ignorar o contexto.
Considerar pontos isolados de uma tabela como todo o gráfico contínuo.
Trocar entrada e saída ao interpretar um problema.

Síntese

Função associa cada entrada admitida a exatamente uma saída.
Domínio contém entradas; contradomínio, saídas possíveis; imagem, saídas atingidas.
$f(x)$ nomeia a saída associada a $x$ .
Fórmula, tabela, diagrama e gráfico podem representar a mesma função.
O teste vertical identifica gráficos de funções de $x$ em $y$ .
Domínio respeita restrições algébricas e contextuais.
A imagem depende da regra e do domínio adotado.

Próximos passos

A trilha segue para Função afim, aprofundando taxa de variação, coeficientes e retas. Depois, Função quadrática estudará parábolas, vértice e raízes como interceptos.

Funções: conceitos fundamentais