Média, mediana e moda

Três ideias de centro

Medida	Ideia	Pode ser usada com
média	soma distribuída igualmente	dados quantitativos
mediana	centro das posições ordenadas	dados quantitativos ou ordinais
moda	maior frequência	dados quantitativos ou categóricos

Média aritmética

Para n valores x_1,…,x_n:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum x_i}{n}.$

No conjunto 5, 7, 7, 8, 13:

$\bar{x}=\frac{5+7+7+8+13}{5}=\frac{40}{5}=8.$

A média não precisa ser um valor observado. Ela preserva a soma: n\bar{x}=Σx_i. Revise a base em Médias.

Encontrando valor ou quantidade desconhecida

Se seis valores têm média 12, a soma é 6·12=72. Se cinco deles somam 61, o valor ausente é 72-61=11. Em problemas inversos, transforme primeiro a média em soma total.

Média ponderada

Quando valores possuem pesos p_i:

$\bar{x}_p=\frac{\sum x_ip_i}{\sum p_i}.$

Para notas 7, 8 e 9 com pesos 2, 3 e 5:

$\bar{x}_p=\frac{7\cdot2+8\cdot3+9\cdot5}{2+3+5}=\frac{83}{10}=8{,}3.$

Não divida pela quantidade de notas quando os pesos somam outro valor. Consulte Médias para retomar o cálculo ponderado.

Mediana

Primeiro ordene os dados.

• Se n é ímpar, a posição central é (n+1)/2.
• Se n é par, faça a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1.

Em 5,7,7,8,13, a mediana é o terceiro valor: 7. Em 2,4,6,8:

$Md=\frac{4+6}{2}=5.$

A posição da mediana não é necessariamente seu valor. Com quantidade par, o resultado pode não aparecer no conjunto.

Moda

A moda é o valor de maior frequência. O conjunto 5,7,7,8,13 tem moda 7.

• uma moda: unimodal;
• duas modas com a mesma frequência máxima: bimodal;
• várias modas: multimodal;
• nenhuma repetição com frequência superior: amodal.

Não escolha o maior valor: escolha o mais frequente. Em categorias como cor ou tipo de transporte, a moda pode ser calculada, enquanto média e mediana podem não fazer sentido.

Cálculo por tabela de frequências

Considere:

Valor x	Frequência f	Produto xf
1	2	2
2	3	6
3	4	12
4	1	4
Total	10	24

$\bar{x}=\frac{\sum xf}{\sum f}=\frac{24}{10}=2{,}4.$

A moda é 3, pois tem frequência 4. Para a mediana, n=10: observamos as posições 5 e 6. A frequência acumulada mostra que ambas correspondem ao valor 2 e 3, respectivamente; portanto,

$Md=\frac{2+3}{2}=2{,}5.$

Atenção à mediana por frequências

Não faça a mediana da coluna de valores ignorando as frequências. Expanda mentalmente as posições ou use a frequência acumulada para localizar os termos centrais. A página Leitura de tabelas ajuda a interpretar essas colunas.

Efeito de valores extremos

Considere salários 3.000, 3.200, 3.400, 3.600, 18.000:

$\bar{x}=\frac{31.200}{5}=6.240,$

enquanto a mediana é 3.400.

A média incorpora a magnitude de 18.000 e fica acima de quatro dos cinco salários. A mediana depende das posições e descreve melhor o centro típico desse conjunto assimétrico. Isso não torna a média errada: ela responde a outra pergunta.

Forma da distribuição

• distribuição aproximadamente simétrica: média e mediana tendem a ficar próximas;
• cauda à direita: a média costuma ser maior que a mediana;
• cauda à esquerda: a média costuma ser menor que a mediana.

Essa relação é uma tendência, não uma regra suficiente para reconstruir qualquer conjunto. Observe a forma em Interpretação de gráficos.

Dados agrupados em intervalos

Se temos apenas intervalos e frequências, os valores individuais foram perdidos. Podemos estimar a média usando o ponto médio m_i de cada classe:

$\bar{x}\approx\frac{\sum f_im_i}{\sum f_i}.$

O símbolo ≈ é importante: diferentes distribuições dentro das mesmas classes podem gerar médias exatas diferentes. A moda vira classe modal; a mediana também pode ser estimada por métodos de dados agrupados, mas não deve ser tratada como exata sem os valores originais.

Como escolher

• Use média quando todos os valores devem contribuir proporcionalmente e extremos são relevantes.
• Use mediana quando o objetivo é uma posição típica resistente a extremos ou a distribuição é assimétrica.
• Use moda para identificar a ocorrência mais comum, inclusive em categorias.
• Apresente mais de uma medida quando elas revelam aspectos complementares.

Uma medida de centro sozinha não descreve a variabilidade. Os conjuntos 4,5,6 e 0,5,10 têm média e mediana 5, mas espalhamentos diferentes.

Erros frequentes

• calcular mediana sem ordenar;
• dividir média ponderada pelo número de valores, ignorando pesos;
• usar frequências como se fossem valores;
• escolher o maior número como moda;
• afirmar que todo conjunto possui uma única moda;
• considerar a média sempre “mais correta”;
• calcular média de códigos ou categorias nominais;
• apresentar estimativa de dados agrupados como valor exato;
• descrever um conjunto apenas pelo centro, ignorando dispersão.

Síntese

Medida	Cálculo	Ponto forte	Limitação
média	Σx/n	usa todos os valores	sensível a extremos
mediana	centro ordenado	resistente a extremos	não usa magnitudes igualmente
moda	maior frequência	aceita categorias	pode faltar ou ser múltipla

Próximos passos

Continue em Amplitude e medidas de dispersão para comparar quanto os valores se afastam do centro e distinguir conjuntos que possuem a mesma média ou mediana.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação.
• OpenStax Introductory Statistics 2e — Measures of the Center.
• OpenStax Introductory Statistics 2e — Skewness and Center.
• OpenStax Contemporary Mathematics — Mean, Median and Mode.