Regra de três simples e composta: como resolver

Grade de quantidades conhecidas e desconhecidas resolvidas por relações proporcionais

Regra de três é um método para determinar um valor desconhecido quando duas ou mais grandezas mantêm uma relação proporcional conhecida. Ela não cria proporcionalidade: antes de calcular, é preciso verificar se a relação realmente existe.

Ideia central: organize grandezas, unidades e sentido da variação antes de formar a equação.

Quando a regra de três pode ser usada

O método é adequado quando a razão ou o produto relevante permanece constante. Se 3 cadernos equivalentes custam R$ 24,00, 5 cadernos custam proporcionalmente mais. Porém, uma corrida de táxi com tarifa fixa mais preço por quilômetro não é diretamente proporcional ao percurso: o valor inicial impede uma razão constante.

O conteúdo Razão e proporção explica a igualdade de razões que fundamenta o procedimento.

Regra de três simples direta

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando multiplicar uma por um fator multiplica a outra pelo mesmo fator.

Exemplo: 4 kg de um produto custam R$ 30,00. Quanto custam 10 kg?

Massa	Preço
4 kg	R$ 30,00
10 kg	$x$

Mantendo massa sobre preço:

$\frac4{30}=\frac{10}{x}.$

$4x=300\quad\Rightarrow\quad x=75.$

Resposta: R$ 75,00. A estimativa confirma: 10 kg correspondem a 2,5 vezes 4 kg, então o preço deve ser 2,5 vezes R$ 30,00.

Regra de três simples inversa

Na relação inversa, aumentar uma grandeza reduz a outra de modo que o produto permaneça constante.

Exemplo: 6 máquinas iguais concluem um lote em 15 horas. No mesmo ritmo, quanto tempo levariam 10 máquinas?

Mais máquinas implicam menos tempo. Portanto:

$6\cdot15=10\cdot x,$

$x=9\ \mathrm h.$

Montar diretamente $6/15=10/x$ produziria 25 horas, resultado incompatível com o sentido: mais máquinas não deveriam aumentar o tempo.

Um roteiro confiável

Identifique a incógnita e sua unidade.
Agrupe valores da mesma grandeza na mesma coluna.
Converta unidades incompatíveis.
Pergunte o que ocorre com a incógnita quando a outra grandeza aumenta.
Monte uma proporção direta ou preserve o produto na relação inversa.
Resolva e verifique a tendência e a ordem de grandeza.

Fator de escala e taxa unitária

Nem todo problema precisa de produtos cruzados. Se 8 ingressos custam R$ 160,00, cada ingresso custa R$ 20,00; 13 custam R$ 260,00.

Também podemos usar o fator $13/8$ :

$160\cdot\frac{13}{8}=260.$

Taxa unitária e fator de escala deixam explícita a relação e frequentemente são mais claros.

Regra de três composta

Uma regra de três é composta quando a incógnita depende de três ou mais grandezas. Analise cada uma separadamente em relação à incógnita, mantendo as demais constantes.

Exemplo: 4 impressoras, trabalhando 6 horas por dia, produzem 9.600 páginas em 5 dias. Quantas páginas 6 impressoras produzem em 8 horas por dia durante 3 dias, no mesmo ritmo?

Páginas variam diretamente com impressoras, horas diárias e dias. Logo:

$x=9600\cdot\frac64\cdot\frac86\cdot\frac35.$

$x=11\,520\text{ páginas}.$

Cada fator tem interpretação: mais impressoras e mais horas aumentam a produção; menos dias a reduzem.

Exemplo composto com relação inversa

Oito trabalhadores concluem um serviço em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos dias seriam necessários para 12 trabalhadores, 5 horas por dia, com produtividade equivalente?

Dias são inversamente proporcionais ao número de trabalhadores e às horas diárias:

$x=15\cdot\frac8{12}\cdot\frac65=12.$

São necessários 12 dias. A redução causada pelos trabalhadores é parcialmente compensada pela jornada diária menor.

Situações que não são regra de três

preço com tarifa fixa mais parcela variável;
crescimento por soma constante quando se tenta usar razão;
grandezas apenas correlacionadas, sem modelo proporcional;
produtividade que muda com quantidade de pessoas ou máquinas;
médias tomadas como se descrevessem cada trecho individualmente.

Por exemplo, dobrar o lado de um quadrado quadruplica sua área. Lado e área não são diretamente proporcionais, pois $A=l^2$ .

Erros frequentes

montar a conta antes de identificar as grandezas;
misturar minutos e horas ou metros e quilômetros;
inverter uma coluna sem justificar relação inversa;
considerar toda variação conjunta como proporcional;
aplicar uma única “regra de setas” sem interpretar a incógnita;
aceitar um resultado contrário ao sentido esperado;
omitir unidade e arredondamento solicitado.

Síntese

Regra de três resolve um termo desconhecido dentro de uma relação proporcional.
Relação direta preserva razões; relação inversa preserva produtos.
Na forma composta, cada grandeza é comparada separadamente com a incógnita.
Taxa unitária e fator de escala podem ser mais transparentes que produtos cruzados.
Estimativa e unidade fazem parte da verificação.

Próximos passos

O próximo conteúdo aprofundará Grandezas direta e inversamente proporcionais. Porcentagem aplicará razões de base 100 em uma página própria.