Do texto à expressão ou equação

Expressão, equação ou inequação

As três representações cumprem papéis diferentes:

• expressão algébrica: representa uma quantidade ou regra, como 32+4,5g;
• equação: afirma que duas expressões são iguais, como 32+4,5g=77;
• inequação: estabelece limite ou comparação, como 32+4,5g≤100.

Uma expressão não tem sinal de igualdade e não é algo a “resolver” sem informação adicional. Ela pode ser simplificada ou avaliada para um valor da variável. Já uma equação propõe uma condição cuja solução deve tornar a igualdade verdadeira.

Se precisar retomar variável, termo e coeficiente, consulte Expressões algébricas. Para técnicas de resolução, avance depois pela Equação do primeiro grau.

Escolha e defina a variável

Uma letra só é útil quando seu significado está declarado. Escreva, por exemplo:

Seja g a quantidade de gigabytes consumidos além da franquia.

Evite escolher letras sem unidade ou usar a mesma letra para grandezas diferentes. Se t representa tempo em horas, a resposta t=3 significa 3 horas, não apenas o número 3.

Também diferencie:

• variável: quantidade que pode assumir diferentes valores em uma relação;
• incógnita: valor desconhecido que satisfaz uma condição específica.

Na fórmula C=32+4,5g, g pode variar e determina o custo C. Se o enunciado informa C=77, encontrar g torna-se um problema de incógnita.

Traduza relações completas

Algumas estruturas recorrentes ajudam, desde que sejam lidas por inteiro:

Relação em palavras	Representação
a soma de x e 7	x+7
a diferença entre x e 7	x-7
o produto de 5 por x	5x
o quociente de x por 5	x/5
8 a mais que x	x+8
8 a menos que x	x-8
o dobro de x, acrescido de 3	2x+3
p% de x	(p/100)x

“A menos que” pode ter sentido condicional na língua portuguesa, como em “iremos, a menos que chova”. Em problemas algébricos, prefira identificar a comparação quantitativa completa, não apenas a ocorrência da palavra “menos”.

A ordem pode inverter a subtração ou a divisão

Subtração e divisão não são comutativas. Por isso, a ordem das quantidades precisa ser preservada:

• “a diferença entre x e 5” → x-5;
• “a diferença entre 5 e x” → 5-x;
• “x dividido por 4” → x/4;
• “4 dividido por x” → 4/x, com x≠0.

Uma checagem simples é atribuir um valor mental. Se x=12, “5 a menos que x” deve valer 7; portanto, a forma coerente é x-5.

Agrupamentos mudam o significado

Compare:

• “o triplo de um número, menos 5” → 3x-5;
• “o triplo da diferença entre um número e 5” → 3(x-5).

No segundo caso, “da diferença” indica que todo o grupo deve ser multiplicado por 3. Para x=7, as expressões valem 16 e 6, respectivamente; elas não são equivalentes.

Expressões como “a soma de”, “a diferença entre” e “a metade de” frequentemente delimitam blocos. Leia primeiro a estrutura de dentro para fora e depois registre os parênteses necessários.

Localize o vínculo entre os dois lados

Uma equação surge quando o texto afirma igualdade. Verbos e locuções como “é”, “resulta em”, “corresponde a”, “totaliza” ou “tem o mesmo valor que” podem ligar duas expressões.

Na frase “o dobro de um número acrescido de 7 é 25”:

• primeiro lado: 2x+7;
• vínculo: “é”;
• segundo lado: 25.

Portanto:

$$2x+7=25.$$

Mas a pontuação e o contexto podem tornar uma frase ambígua. “O dobro de um número acrescido de 7” pode ser entendido como 2x+7 ou 2(x+7). Um bom enunciado explicita “o dobro de um número, acrescido de 7” ou “o dobro da soma de um número com 7”. Não invente precisão onde o texto não oferece.

Totais, partes e quantidades consecutivas

Quando as partes formam um total, escreva uma soma igual ao todo.

Se há x estudantes e o dobro dessa quantidade de adultos, o total é:

$$x+2x=3x.$$

Se o total informado é 180, a equação é x+2x=180.

Para números inteiros consecutivos:

• dois consecutivos: n e n+1;
• três consecutivos: n, n+1 e n+2;
• dois pares consecutivos: 2n e 2n+2;
• dois ímpares consecutivos: 2n+1 e 2n+3.

Consecutivos não significam necessariamente “um número e seu dobro”. A relação depende do conjunto e do intervalo entre os termos.

Taxas e relações proporcionais

Expressões com “por”, “a cada” e “para cada” podem representar taxas. Se um serviço cobra R$ 32 fixos e R$ 4,50 por gigabyte adicional, sendo g o consumo adicional:

$$C=32+4{,}5g.$$

O valor fixo aparece uma vez; a tarifa variável é multiplicada pela quantidade consumida. Se g=10, então C=77.

Em problemas proporcionais, revise Razão e proporção. Nem toda taxa gera proporcionalidade direta: a parcela fixa 32 impede que o custo total seja diretamente proporcional a g.

Limites pedem desigualdades

Expressões como “no máximo”, “até”, “pelo menos” e “não inferior a” definem limites:

Texto	Relação
no máximo 80	x≤80
pelo menos 12	x≥12
mais de 20	x>20
menos de 20	x<20

Se uma van suporta no máximo 600 kg, já carrega 85 kg e receberá caixas de 12 kg, então a quantidade inteira x de caixas deve satisfazer:

$$85+12x\le600.$$

A condição x≥0 e o fato de x ser inteiro também pertencem ao modelo, mesmo que não apareçam no lado principal da inequação.

Exemplo comentado: dimensões de um retângulo

O comprimento de um retângulo mede 3 cm a mais que a largura. O perímetro é 54 cm. Determine as dimensões.

1. Defina a incógnita

Seja x a largura, em centímetros. Então o comprimento é x+3.

2. Traduza a relação do perímetro

O perímetro soma dois comprimentos e duas larguras:

$$2(x+3)+2x=54.$$

3. Resolva e interprete

$$2x+6+2x=54,$$ $$4x=48,$$ $$x=12.$$

A largura mede 12 cm e o comprimento, 15 cm. A conferência recompõe o perímetro: 2·12+2·15=54.

O modelo 2(x+3)+2x=54 é mais importante que iniciar contas rapidamente: ele preserva tanto a relação “3 cm a mais” quanto os quatro lados do retângulo.

Exemplo comentado: uma variável para duas quantidades

Em um evento há 180 pessoas entre estudantes e adultos. O número de adultos é o dobro do número de estudantes. Quantos há em cada grupo?

Seja e o número de estudantes. Então há 2e adultos e:

$$e+2e=180.$$

Logo, 3e=180 e e=60. Portanto, há 60 estudantes e 120 adultos. A resposta respeita as duas condições: 60+120=180 e 120=2·60.

Um método replicável

1. Escreva o que a quantidade desconhecida representa e sua unidade.
2. Traduza cada relação em uma frase curta.
3. Construa expressões para as quantidades dependentes.
4. Identifique igualdade, desigualdade ou apenas uma regra de cálculo.
5. Use parênteses para preservar agrupamentos.
6. Registre restrições, como positividade, integridade ou denominador não nulo.
7. Resolva apenas depois de o modelo estar completo.
8. Substitua o resultado nas relações originais e responda ao contexto.

Esse método complementa Como interpretar problemas matemáticos: a página anterior organiza o enunciado; esta transforma suas relações em linguagem algébrica.

Erros frequentes

• usar uma letra sem definir o que ela representa;
• trocar x-5 por 5-x;
• omitir parênteses em “o dobro da soma” ou “a metade da diferença”;
• escrever uma equação quando o texto fornece apenas uma expressão;
• usar igualdade para representar “no máximo” ou “pelo menos”;
• somar uma taxa fixa várias vezes;
• criar duas incógnitas quando uma quantidade pode ser escrita em função da outra;
• resolver corretamente uma equação que não corresponde ao enunciado;
• ignorar restrições de unidade, sinal ou conjunto numérico.

Síntese para revisão

Elemento do texto	Decisão algébrica
quantidade desconhecida	definir variável e unidade
regra de cálculo	construir expressão
duas quantidades iguais	construir equação
limite ou comparação	construir inequação
grupo inteiro afetado	usar parênteses
“por” ou “a cada”	verificar taxa e unidades
partes de um total	somar as partes e igualar ao total
resposta encontrada	substituir e conferir no texto

Próximos passos

• Retome Expressões algébricas para simplificação, termos e coeficientes.
• Pratique a resolução em Equação do primeiro grau e Inequações.
• Use Estimativa e ordem de grandeza para antecipar faixas e conferir a escala dos cálculos.

Referências

• Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação.
• OpenStax Prealgebra 2e — Use the Language of Algebra.
• OpenStax Prealgebra 2e — Evaluate, Simplify, and Translate Expressions.
• OpenStax Prealgebra 2e — Use a Problem Solving Strategy.